46. A nem természetes számok paradoxonja – ezek eljárások, amelyeket a platóni idealizmus miatt szoktunk számoknak nevezni
„A történelem folyamán ahogy nőtt az igény az egyre bonyolultabb dolgok (számbeli) kifejezésére, úgy nőtt az igény a számhalmaz(ok) bővítésére is. Így jutottunk el a természetes számoktól a komplex számokig” – írja a Wikipedia a számtartományokról. Pontosabban, minden számtartományt egy-egy lehetetlen számítási küldetés hozott létre.
Az irracionális „számok” algoritmusa úgy jött létre, hogy az ókori matematikusok megpróbálták két egész szám hányadosaként leírni a négyzet oldalának és átlójának arányát, de nem sikerült. Ahogy a kör átlójának és kerületének arányát sem tudták természetes törtként kifejezni. Kitaláltak hát egy eljárást, amely megpróbálja a háromszöget és a kört négyszögesíteni. Ez azonban soha nem sikerülhet, mission impossible. Ha egyre kisebb négyszögeket használunk, a különbség előbb-utóbb elhanyagolhatóvá válik – persze nem elméletben, hanem gyakorlati szempontból.
Világosabbá válna a gondolkodásunk – többek között a matematika hasznáról és lehetőségeiről –, ha csak a természetes számokat neveznénk számnak, és minden mást négyszögesítő/közelítő algoritmusnak (pl. a 2 négyzetgyöke esetén), belátva, hogy nem eredményez tökéletes megoldást. Egy kört/háromszöget ugyanis nem lehet négyzetekből kirakni, bármilyen kicsi négyzeteket használunk. A kirakáshoz használt egység alakidegen, végső fokon nem alkalmas a lefedésre. A kívánt pontossági határon belül kerülve egyszerűen leállítjuk az algoritmust, és megelégszünk egy közelítő eredménnyel. Ha megvizsgáljuk a többi úgynevezett számtartományt, mind mögött egy-egy hasonló lehetetlen küldetés motiválta algoritmust találunk.)
Mr Hyde nem érti, miért nem elég nekünk a gyakorlati megfelelőség, miért törekednénk elméleti tökéletességre. Dr Jekyll válasza, hogy ha egy téglalapot tökéletesen le tudunk fedni négyzetekkel, egy kört meg nem, valamilyen formában célszerű szembenéznünk ezzel a minőségi különbséggel, számítási képességeink hiányos voltával. Ha számnak tituláljuk az algoritmust, azzal elfedjük a különbséget, és olyan illúzió keletkezhet, hogy lám, a matematika mindent képes kiszámítani – pedig a jelek szerint nem; a kör nem négyszögesíthető.
Platón úgy modellezte a valóságot, hogy az égben vannak a tökéletes metafizikai ideák, és azok tökéletlen földi kivetülését hisszük mi valóságnak, illetve létünknek. A valóság csupán az ideák árnyképe. Az ideák léte szilárdabb a valóságnál, erősebb a létünknél, nekünk kell alkalmazkodnunk az ideákhoz, és nem fordítva. Már a legjobb tanítványa, Arisztotelész rámutatott, hogy az ideákat mi találjuk ki, a valóságot pedig nem. Valóság létezik tőlünk függetlenül, az ideák nem rendelkeznek önálló léttel. Szó sincs róla, hogy nekünk kellene az ideákhoz alkalmazkodnunk. Az algoritmus számmá minősítése azt a naiv feltevést tükrözi, hogy amit arányként el tudunk képzelni, azt ki is tudjuk számítani. Ha megvan a fejünkben az ideája, számjegyeket is tudunk hozzá rendelni, nem? Tanulság: nem tudunk minden arány ideájához számjegyeket rendelni. Ami nem fedhető le négyzetekkel, annak az arányideáját mindössze megközelíteni tudjuk egy gyakorlati célra konstruált algoritmussal.
Paradox, hogy miközben a tudomány egésze Arisztotelészre épül a logikától a nyelvészeten át az esztétikáig, gondolkodásunk zavaros foltjaiban megőrződött Platón idealizmusa is. Mint hamarosan látni fogjuk, különösen veszélyes ez az erkölcsi, világnézeti és közéleti idealizmus formájában.
A racionális törtek, ahol a nevező és a számláló nem egyenlő (1/2, 2/3, stb.) nem természetes számok. (A “természetes számok” fogalma a pozitív egész számokat takarja, plusz definíciótól függően néha a nullát.) Ha a javaslatod tényleg az, hogy csak a természetes számokat hívjuk “számnak”, minden mást “négyszögesítő/közelítő algoritmusnak”, az akkor túllőttél a célon: ugyanis ha kettévágsz egy almát (1/2), az aligha nevezhető “lehetetlen küldetésnek”. — Egyszerűbben fogalmazva: összekevered a “természetes számok” fogalmat az “irracionális számok” fogalommal. A világosabb matematikai gondolkodás érdekében ezt célszerű tisztázni.
VálaszTörlésMás szavakkal: a kettővel való osztás nem “négyzetesítő/közelítő algoritmus”, hanem elemi matematikai művelet (osztás), nem utolsó sorban az a művelet, amely létrehozza a racionális (p/q) törteket.
VálaszTörlésFigyelembe véve, hogy valójában nem a természetes, hanem az irracionális számokat akarod száműzni a “szám” fogalom jelentésköréből, felmerül a kérdés, hogy ennek amúgy mi lenne az értelme. A kör négyzetesítése valóban geometriai probléma, de a matematikai tisztánlátás érdekében meg kell jegyezni, hogy a geometria maga bizonyította 1882-ben, hogy a kör nem négyszögesíthető, azaz hibás az alapfeltevésed: a matematikának egyáltalán nincsen illúziója a kör négyzetesítésével kapcsolatban; a matematika bizonyította, hogy körzővel-vonalzóval nem lehet olyan négyzetet szerkeszteni véges lépésben, amely azonos területű lenne egy adott ismert területű körrel. Ez azonban egy geometriai (szerkesztési, gyakorlati) probléma, amelynek a bizonyított megoldhatatlansága nem azt jelenti, hogy a matematikának illúziói vannak: ellenkezőleg. Egyetlen paradox van itt: azt állítani, hogy az irracionális számok “szám” megnevezése “illúziókat” kelt bárkiben, és ezt egy olyan levezetéssel alátámasztani, amelyből az derül ki, hogy nem érted pontosan a matematikát: (1) nem érted a különbséget a természetes számok és az irracionális számok között; (2) nem tudod, hogy a kör négyszögesítése szerkesztési probléma, amelynek a lehetetlenségét a matematika 1882-ben bizonyította, azaz a matematikának majd 140 éve nincs ezzel kapcsolatos illúziója; (3) nem érted, hogy az iteratív műveletek bizonyításához nincs szükség azok kézi “végigszámolásához”.
VálaszTörlésHogy megvilágítsam ezt: ha szembefordítasz egymással két tükröt és közéjük állsz, hány példányt látsz magadból? Nos, fizikailag véges számút, mert a “legtávolabbi” már olyan pici, hogy nem látod. Ez a fizikai észlelés biológiai korlátja miatt van így. Ha ez a korlát nem lenne, akkor sem lenne a tükörképek száma a gyakorlatban végtelen, mert az “utolsó” tükörképed már olyan pici lenne, hogy túl pixeles lenne a felismeréshez (a fotonok mérete adott), azonban ez is csak gyakorlati, fizikai határ. Elméletben azonban a tükörképek száma végtelen, és ezt véges idő alatt be lehet látni anélkül, hogy végtelen időn keresztül megpróbálnánk “kiszámolni” vagy megszámolni, hányat pattan egy foton két tükör között végtelen idő alatt. A matematikai absztrakció képességére már alsó tagozatban szükség van, az absztrakció azonban nem illúziót jelent, hanem gondolkodási képességet. A “minden kiszámolható” illúziója azt kísérti csak meg, aki nem képes az absztrakt gondolkodásra és nincs tisztában azzal, hogy a matematikai gondolkodás legfőbb eleme mindig a korlátok tisztázása. Végül: a “kiszámolás” sokkal szűkebb valami, mint a “matematika” — de ugye ennek belátásához szükség van egyre s másra.
VálaszTörlésA tükörpéldára visszatérve: az absztrakt matematikai gondolkodásnak az a lényege, hogy az ember belátja, hogy elvben két tükör közé állva matematikailag végtelen példányt látnál magadból — akkor is, ha a fizikai korlátok miatt ez nem így van.
VálaszTörlésVégül beleesel egy óriási, de sajnos amatőrökre jellemző hibába: a “végtelen” nem szám. Egy olyan művelet, mint pl. A híres 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n összeadás valóban nem “számolható ki” se az ujjadon (nincsen elég ujjad), se számoló- vagy számítógéppel összeadási műveletek végtelen sorával, mert nincs rá elég (fizikai) idő. Az viszont belátható, hogy a sorozat elemeinek összege az 1-hez tendál, az 1-et tetszőleges pontossággal közelíti mint határértéket — ám amikor megtanulod a határérték-számítást, buktatókérdés, hogy különbséget tudsz-e tenni véges elem összege és egy végtelen konvergens sorozat határértéke között. Ha igen, nincsenek illúzióid, hogy “minden kiszámítható”, mert tudod, hogy a kétféle számítás nem ugyanaz. Illúzióid akkor lehetnek, ha nem érted a natematikát.
VálaszTörlésBónusz: ha belátod, hogy 1/2 + 1/2 = 1, és belátod, hogy 1/4 + 1/4 = 1/2, és belátod, hogy 1/2 + 1/4 + 1/4 = 1, akkor már el tudsz osztani egy pizzát egy éhes felnőtt meg két kisétvágyú gyerek közt. Innen nem kell sok ész ahhoz, hogy belásd, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8 = 1, azaz egy pizzát eloszthatsz egy éhes felnőtt, egy kisétvágyú gyerek, valamint két szerény látogató közt, akik csak egy nyolcadot kérnek. Innen két lehetőség van: (1) vagy belátod egy perc alatt, hogy a matematikában a 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... + 1/2^n sorozat pontosan leírja a pizza feloszthatóságának az elméleti lehetőségét (és hogy mindig 1 pizza az “összeg”), amely esetben a matektanárod jó munkát végzett, vagy (2) azt mondod, hogy a pizza nem felezhető a végtelenségig, tehát nem lehet “kiszámolni” a sorozat elemeinek összegét (a konvergens sorozat határértékét), amely esetben a matektanárod az, akinek illúziói voltak.
VálaszTörlésKövetkezetességi kihívás: a “természetes számok” kérdésköre SEMMIVEL SEM EGYSZERŰBB, mint a törteké, irracionális számoké, stb. Gondold ezt át: meddig tudsz elszámolni? Egyrészt elfogadod, belátod, hogy BÁRMELY természetes számhoz hozzá tudsz adni egyet, és máris kaptál egy eggyel nagyobb számot. A legnagyobb megnevezett szám a googleplex: (10)^(10^100), azaz a 10 10-a-századikon hatványa. Kezd innen a számolást. Meddig tudsz elszámolni? Egyszer csak elfogynak a számnevek. De ez nem gond, algoritmussal le tudod írni: googleplex + n, ahol n = 1, 2, 3, ... — De ezzel se jutsz messze, mert egyszer csak nem lesz elég hely a világegyetemben, hogy leírd a számot. Rövidre fogva: ha komolyan veszed a saját érveidet, amelyek alapján csak a természetes számokat nevezhetjük “számnak”, mert az irracionális törteket “nem tudjuk kiszámolni”, akkor valójában a természetes számok halmazának is csak az elhanyagolható, infinitezimálisan kis hányadát nevezhetnénk “számnak”, hiszen a nagy részüket nem tudjuk “megszámolni”, “kiszámolni”. — A természetes számok “megszámolható végtelen” halmazt alkotnak, de ez nem azt jelenti, hogy a gyakorlatban meg lehet őket számolni, hanem azt, hogy belátható, hogy ha lenne elég idő, tinta és papír (azaz tér), akkor meg lehetne őket számolni. A kör területének kiszámolása — amitől te beszélsz, amikor tévesen “négyszögesítést” emlegetsz — pontosan ugyanilyen algoritmus: a gyakorlatban nem tudod végigszámolni, mert végtelen lépésből áll, de ez nem jelenti azt, hogy ne lenne valós, pontos, matematikailag következetes és a gyakorlatban kifejezetten hasznos eljárás. Márpedig ha belátod, hogy bármely természetes számhoz hozzáadhatsz 1-et és ezzel 1-gyel nagyobb számot kapsz, és így egyre messzebb jutsz a nullától, akkor azt is be kell látnod, hogy az 1 természetes szám, amely felírható végtelen tört összegeként, ahol az egymást követő törtek alakja 1/n azzal, hogy az n nullától a végtelenig fut. Egy pizza akkor is egy pizza, ha nem tudod kiszámolni.
VálaszTörlésEgy rövid ténybeli korrekció: az érvelésed alapvetően hibás. A határérték-számítás közben SOHA NEM HANYAGOLJUK EL A VÉGES LÉPÉS UTÁN FENNMARADÓ KÜLÖNBSÉGET. Nincs szükség az elhanyagolásra; megvan a pí tizedeseinek kiszámolására vonatkozó eljárás, amely elvben tetszőleges pontossággal végigvihető, és csak fizikai korlátok miatt nem lehet végigszámolni, nem a matematika korlátozottsága miatt. Attól tartok, nem érted a határérték fogalmát; a határérték tetszőlegesen megközelíthető, ha az ujjadon számolsz, de semmit nem kell elhanyagolni, mert a határérték PONTOS.
VálaszTörlésÉs ha valakit érdekelne, hogy mennyivel világosabban beszél a tudomány a matematika korlátairól és e korlátok természettudományos relevanciájáról, az hallgassa meg Hossenfeldert. Neki megvannak az alapok is, nem csak ideologikus sugalmazású intuíciókkal próbálkozik: https://youtu.be/hDpEg881BnI
VálaszTörlésEzt írod: "Kitaláltak hát egy eljárást, amely megpróbálja a háromszöget és a kört négyszögesíteni. Ez azonban soha nem sikerülhet, mission impossible. Ha egyre kisebb négyszögeket használunk, a különbség előbb-utóbb elhanyagolhatóvá válik – persze nem elméletben, hanem gyakorlati szempontból." -- Nos, érdemes megjegyezni (Te kéred, hogy legyen a komment rövid és tényszerű): a π (irracionális szám) számjegyeinek kiszámítására szolgáló arkhimédészi módszer nem négyzetekkel közelít, hanem sokszögekkel. Azaz NEM "négyszögesíti" a kört. De nem is "sokszögesíti"; a körrel magával SEMMI nem történik. Az egyre többszögű szabályos sokszögekkel való közelítés során "elméleti elhanyagolás" nincs, a számítás tetszőleges pontossággal elvégezhető, ha van rá elég időd. A "gyakorlati elhanyagolás" pedig nem matematikai kérdés, azaz nem a matematika korlátait mutatja.
VálaszTörlésEzt írod: "Kitaláltak hát egy eljárást, amely megpróbálja a háromszöget [...] négyszögesíteni. Ez azonban soha nem sikerülhet, mission impossible. Ha egyre kisebb négyszögeket használunk, a különbség előbb-utóbb elhanyagolhatóvá válik – persze nem elméletben, hanem gyakorlati szempontból." -- Nos, itt is gondok vannak az általános iskolai alapokkal. A háromszög "négyszögesítésére" (maradjunk ennél a szerencsétlen kifejezésnél) nincs szükség (!!!) "egyre kisebb négyzetekre". Te is tanultad általánosban a megoldást: a háromszöget meg kell kettőzni (egybevágóság), az egyiket tükrözni kell (tükrözés, forgatás, hasonlóság), össze kell passzítani egy azonos hosszú oldaluk mentén, és máris van egy négyszöged, amelynek a területe a háromszög területének pontosan a kétszerese. Nem adok kimerítő levezetést, mert megtették helyettem rengetegen (a matektanárod is); ha fel akarod frissíeni a tudásodat (és esetleg a cikkedet), itt egy link: https://www.youtube.com/watch?v=YOYQys52sPs
VálaszTörlésEzt írod (rövid, tényszerű komment): "Az irracionális „számok” algoritmusa úgy jött létre, hogy az ókori matematikusok megpróbálták két egész szám hányadosaként leírni a négyzet oldalának és átlójának arányát, de nem sikerült." -- Nos, ez se túl pontos. Tegyük rendbe.
VálaszTörlés(1) A körzővel-vonalzóval szerkesztő ókori görögök számára valóban sokk volt, hogy az egységnyi oldalhosszú (1x1) négyzet átlója sehogy nem jött ki természetes számra, mert az egy egységnyi oldalú (1x1) négyzet átlója 1-nél nagyobb, 2-nél kisebb; 1 1/4-nél nagyobb, 1 1/2-nél kisebb... és így tovább.
(2) Azóta bizonyítottuk, hogy az egységnyi négyzet átlója nem írható le olyan p/q alakú törttel, ahol p is és q is természetes (pozitív egész) szám. ( https://thatsmaths.com/2018/05/24/a-glowing-geometric-proof-that-root-2-is-irrational/ )
(3) Vegyük észre, hogy a p/q tört a p és a q arányát fejezi ki (p:q); az "arány" latinul "ratio"; a p/q ettől "racionális", azaz "két egész szám arányaként felírható (tört)szám". (Fontos: a "racionális" itt nem azt jelenti, hogy "észszerű".)
(4) Ha bizonyítottuk, hogy az egységnyi oldalú (1x1) négyzet átlója nem írható fel p/q alakú törtként, azaz olyan törtként, amely két egész szám aránya rációja), ÉS
(5) nem túl nehéz belátni, hogy az egységnyi oldalú (1x1) négyzet átlója ennek ellenére ADOTT hosszúságú (se nem hosszabb, se nem rövidebb, mint amekkora),
(6) akkor nyilvánvaló, hogy olyan számmal írható le, amely NEM p/q vagy p:q alakban felírható aránytört (racionális szám).
(7) Ebből az következik, hogy az egységnyi oldalú (1x1) négyzet átlója NEM p/q vagy p:q alakban felírható aránytört (racionális szám). Az ilyen számokat neveztük el "irracionális számnak".
(8) Ha azt mondod, hogy a négyzet átlójának a mérőszámát ne nevezzük "számnak", mert nem tudjuk kiszámolni, akkor azt is ki kell mondanod, hogy szerinted egy négyzetnek az átlója nem feltétlenül adott; lehet, hogy két egységnyi oldalú, egybevágó négyzet közül az egyiknek hosszabb az átlója, mint a másiké. Vagy hogy két egységsugarú, egybevágó kör közül az egyiknek hosszabb lehet a kerülete, mint a másiké. (Használhatod az intuíciót a matek megértésére is, nem csak a matematika ideológiai alapú hiteltelenítésére.)
Egyszerűsítve: ha geometriai módszerrel bizonyítod, hogy az egységnyi oldalú (1x1) négyzet átlója nem adható meg racionális számmal, attól még me kell adni valahogy (gyakorlati kérdés). Erre tökéletes, ha azt mondjuk, hogy "gyök kettő". Ezt követően gusztus dolga, hogy a "gyök kettőt" elfogadod-e számként, vagy elnevezed "érthetetlen, kitaláűlt katyvasznak". Mert kürölbelül ezt jelenti az, hogy "kiszámolhatatlan közelítő algoritmus".
VálaszTörlésAmikor az irracionális számok helyett a “négyszögesítő/közelítő algoritmus” kifejezést ajánlod, összekevered a dolgot magát a dolog kiszámolására szolgáló művelettel (műveletsorral). Ez durva kategóriatévesztés. Persze értem én, hogy a cél az “irracionális” szó kiiktatása a matematikából (szómágia), de dolog feltűnik, hogy nem teszel javaslatot a komplex számok, a transzcendentális számok, stb. megnevezésére, pedig ezeket se tudod az ujjadon se megszámolni, se kiszámolni. Miért?
VálaszTörlésVan egy apróság még, amit ugyancsak meg lehet érteni gimis matekkal, de neked elkerülte a figyelmed.
VálaszTörlésTegyük fel, hogy az egységnyi oldalú (1 x 1) négyzet átlója, a √2 racionális szám, azaz felírható p/q alakban, azaz két egész szám (p, illetve q) hányadosaként.
Induljunk ki abból, hogy a p/q-t a legegyszerűbb formában írjuk fel. Ahogy tudjuk, 8/12 = 4/6 = 2/3, mert a 8-nak és a 12-nek van közös osztója az egyen kívül (a 2 és a 4). Ha viszont a 8/12-et a legegyszerűbb formájában írjuk fel (2/3), a számlálónak és a nevezőnek (2 és 3) nem lesz közös osztója az 1-en kívül, azaz az egyik páros, a másik páratlan (ha nincs közös osztójuk az egyen kívül, akkor a 2 sem közös osztójuk, azaz ha a p/q-t a legegyszerűbb formában írjuk fel, nem lehet egyszerre p is és q is páros.
Tehát lehet √ 2 = p/q, ahol p és q egész szám, q nem nulla, valamint p és q nem lehet egyszerre páros (mert a p/q-t a legegyszerűbb formájában írtuk fel).
√ 2 = p/q (szorozzuk meg mindkét oldalt q-val)
√ 2 q = p (emeljük mindkét oldalt négyzetre)
2q↑2 = p↑2
Ez azt jelenti, hogy mivel az egyenlet bal oldala (a kettes szorzó miatt) páros, az egyenlet jobb oldala is páros kell, hogy legyen.
Ez azt is jelenti, hogy nem csak a p↑2 páros, hanem a p is páros, hiszen minden páros négyzetszámnak páros a négyzetgyöke (4 = 2 x 2, 16 = 4 x 4, stb.), mert párosszor páros páros, páratlanszor páratlan pedig páratlan.
Ennek megfelelően a p↑2, mivel páros, felírható 2c↑2 formában, mert ha a p négyzete páros, akkor a p is páros, azaz van olyan c szám, amely kettővel szorozva p-t ad.
Behelyettesítve:
2q↑2 = p↑2 = (2c)↑2
Innen:
2q↑2 = 4c↑(osztva 2-vel:)
q↑2 = 2c↑2
Ez azt jelenti, hogy mivel az egyenlet jobb oldala páros (a 2-es szorzó miatt), az egyenlet bal oldala páros.
Ha viszont a q↑2 páros, akkor q is páros; korábban viszont láttuk, hogy a p is páros.
Az egyenlet megoldása tehát ellentmondásra vezet, hiszen abból indultunk ki, hogy a gyök kettőtt p/q alakban írjuk fel a legegyszerűbb törttel, azaz úgy, hogy p és q NEM lehet egyszerre páros. Ergo az eredeti kiindulásunk, hogy a gyök kettő felírható p/q alakban, nem állja meg a helyét. Azaz: a gyök kettő nem két egész szám hányadosa, azaz nem “ratio” (“arány”), azaz BIZONYÍTOTTUK, hogy nem racionális szám.
Ettől kezdve édesmindegy, hogy hány tizedesjegyét tudjuk kiszámítani X lépésben Y idő alatt, azt BIZTOSAN tudjuk, hogy nem racionális szám.
Ezt csak azért foglaltam össze, mert az első ismert irracionális szám (a Te javaslatod szerint “négyszögesítő/közelítő algoritmus”) NEM úgy lett “kitalálva”, hogy bárki bármit “négyszögesített” volna (pont a négyzetnél ez értelmezhetetlen) vagy bárki bármit “közelíteni” akart volna.
Bizonyított, hogy a gyök kettő nem racionális szám; az meg ebből a szempontból tök mindegy, hogy az ilyen számokat minek nevezed. Egyértelmű, hogy egy négyzet oldala és átlója egyformán egy-egy szakasz, mindenben azonosak, csak a hosszuk más; minden szakasz hossza megadható egy szám és egy mértékegység kombinációjával. Hogy miért lenne jó az egyik szakasz méretét úgy megadni, hogy az egy nem-szám és egy mértékegység kombinációja, az talány.
, akkor van olyan páratlan c szám, amelynek a p↑2 a kétszerese, azaz p↑2 = 2c).
Innen: 2q↑2 = 2c
(Korr.: “ Ennek megfelelően a p↑2, mivel páros, felírható (2c)↑2 formában...”)
VálaszTörlés(És a “talány” utáni töredék véletlenül maradt ott.)
VálaszTörléshttps://youtu.be/sbGjr_awePE
VálaszTörlésKedves Calculus! Mivel kollégák vagyunk, kb. 15 éve vitatkozunk ezer dologról személyesen és írásban, és még egyetlen egyben sem értettünk egyet (szóval, marginális az esély, hogy egyszer véletlenül ugyanazt gondoljuk bármiről), kénytelen vagyok strukturálttá moderálni a barokkosan burjánzó gondolataidat, melyek között egyébként sok megfontolandó van ezúttal, még ha nem is kapcsolódik mind a poszthoz. Mostantól 3 szabálynak felelj meg, kérlek: 1. posztonként csak 2 kommentet tehetsz közzé, tetszőleges, ám releváns tartalommal, és nem egymás alá, hanem az elsőre adott válaszomra válaszolva, és ez nem kerülhető meg úgy, hogy valamely másik posztom alatt folytatod egy harmadikkal, kivéve, ha ott pont releváns első kommentté válik; 2. a két kommented összterjedelme legalább 1 karakterrel rövidebb legyen a posztnál; 3. add meg a minimális tiszteletet. Ez teljesíthető, fair, és talán még az üzeneted is hatásosabb lesz tőle.
TörlésA szabálytalan kommenteket törlöm, ezért kérlek, mentsd el mindet magadnak is, hogy adott esetben átszerkesztve, pl. tömörítve, újra fel tudd tenni.
A fenti kommentjeidre átgondolás után érdemben is válaszolok, és lehetőséged lesz egy viszontválaszra (tehát ne lődd el a töltényedet erre reagálva, tartogasd pár óráig, hogy nagyobbat durranjon).
'Fontos: a "racionális" itt nem azt jelenti, hogy "észszerű"'
Törlés- Köszönöm, ez hasznos pontosítás.
"nem tudod, hogy a kör négyszögesítése szerkesztési probléma, amelynek a lehetetlenségét a matematika 1882-ben bizonyította, azaz a matematikának majd 140 éve nincs ezzel kapcsolatos illúziója" ...
"Ha azt mondod, hogy a négyzet átlójának a mérőszámát ne nevezzük "számnak", mert nem tudjuk kiszámolni, akkor azt is ki kell mondanod, hogy szerinted egy négyzetnek az átlója nem feltétlenül adott"
- Egyrészt, te magad is azt írod, amit a poszt. Másrészt, a négyzet két oldala és az átlója lehet adott úgy, hogy arányuk mégsem adható meg egy lépésben. Rég írtam ezt a posztot, friss szemmel úgy fogalmaznám meg a különbséget a "szám" és "műveletfogalom" között, hogy ami egy lépésben megadható egész számként vagy két egész szám hányadosaként, azt célszerű számnak nevezni, hiszen könnyen használható akként (jóllehet, utóbbi ténylegesen egy függőben hagyott egylépéses művelet). Ami pedig nem adható meg egy lépésben, mert több művelettel tudunk ráközelíteni, az egy műveletsort leíró fogalom, és ködösíti a jellegéről való gondolkodásunkat, ha minden további magyarázat nélkül számnak akarjuk tekinteni. Tehát, a '3' szám, a '3/7' egy függőben hagyott egylépéses művelet, ami az egyszerűség kedvéért nevezhető számnak, a pí és a gyök 2 pedig közelítésre alkalmas műveletsort jelölő fogalom.
Az én olvasatomban te is ezt írod fentebb, csak hangsúlyozni szeretnéd mellé az inkompetenciámat, miszerint csupán tájékozatlanságból írom azt, amit te tájékozottságból.
Köszönöm, hogy felveted a lehetőséget, hogy hosszú évek után megpróbálsz (majd) érdemben is válaszolni. Ez örvendetes előrelépés (főként annak fényében, hogy a felvetéseim egyike sem mondható kifejezetten újnak).
VálaszTörlésRendben, megvárom az érdemi reakciódat. De előtte szükségét érzem tisztázni, hogy a tiszteletlenség vádja nem áll meg. Ami matek most jön, az csak ezt hivatott alátámasztani.
VálaszTörlésNEM az inkompetenciádat akarom hangsúlyozni. Az, hogy az irracionális számoknak nincs köze a rációhoz (reason), csak a rátához (ratio), tudománytörténeti és matematikai tény. Ezt azért fontos tisztázni, mert az “irracionális szám” fogalmának a félreért(elmez)ésére alapul az egész posztod.
Két lehetőségem van:
(1) feltételezem, hogy a csúsztatásod szándékos, de ez tiszteletlenség lenne; vagy
(2) feltételezem, hogy csak nem volt elég a matematikai, tárgyi tudásod a poszt megírásakor, és rendelkezésedre bocsátom a hiányzó tudást, hogy ne gyöngítse a hiba az érvelésed, azaz a matematika (stb.) hasznáról (stb.) megosztott álláspontod tisztábban, tárgyi tévedések nélkül tudd megfogalmazni.
Ami nekem ebben jó, az az, hogy a saját gondolkodásom/tudásom is pallérozódik közben.
Ha ezzel megvagyunk, igazán az fog majd érdekelni, hogy ha az irracionális számokat átnevezzük, mi lesz a transzcendentális számokkal, az irracionális számok alcsoportjával? Ki kell találnunk valamit a kategória (“transzcendentális számok”) megnevezésére: ha az “irracionális szám” “felfüggesztett műveletsort jelölő fogalom”lesz, akkor a “transzcendentális szám” “polinomiális egyenlet gyökét képezni nem képes, felfüggesztett műveletsort jelölő fogalom” lesz?) Más szóval (hogy értsem): hogy válik világosabbá a gondolkodásunk a matematika (többek közt) hasznáról (többek közt) attól a nómenklatúra-trükktől, hogy egy matematikai kifejezés helyett bevezetünk egy nála sokkal hosszabb matematikai kifejezést?
Köszönöm az észrevételt, amiből ismét kiviláglik, hogy érdemben egyetértünk: te sem gondolod, hogy ami nem egész szám, az pont olyan, mint egy egész szám. Hogy a többit hogyan kezelem, arról én írtam egy egész posztot, te is írhatsz, de annak nem itt lesz a helye.
Törlés