43. A végtelen szakaszos tizedes törtek paradoxonja – végtelen szakaszos tizedes törtek ha akarjuk, vannak, ha akarjuk, nincsenek
Az ókori görögök nem használtak törteket, az osztás maradékát félretették. Ha mi is így tanulnánk számolni, senkit nem kellene számtanból korrepetálni.
Mint korábban – Kant nyomában járva – megállapítottuk, az 1 + 1 = 2 mindenki számára belátható annak ellenére, hogy nincs rá külső bizonyíték. E tekintetben ugyanis egységes az agyi felépítésünk. Az úgynevezett törtekhez érve viszont kiderül, hogy az emberiség jelentős részének más az agyi felépítése, nehezen tudja őket feldolgozni.
1. példa: a számtant az ókori birodalmak fejlesztették ki a céllal, hogy nyilván tudják tartani a beszedett adókat, ki tudják osztani a központi magtárban tárolt búzát, ünnepek idején az ingyen sört, stb. Tört mérő búzát és tört kupa sert azonban nem osztottak (utóbbit megitta az osztó), így nem volt szükségük törtekre. A British Museum gyűjteményében található például egy, az ókori egyiptomi hivatalnokok által használt számtani „kisokos”, amely a lehető legegyszerűbb számtani koncepciókra korlátozódik.
2. példa: a számjegyek és számrendszerek is alakultak a történelem során. A hetes számrendszer bizonyult a legpraktikusabbnak a szociális jogok szempontjából (minden héten egy pihenőnap, babiloni vívmány), a húszas számrendszer vált be legjobban a juhászoknak (a mai napig használják pl. Wales-ben, a nyáj tipikus mérete miatt). A tízes számrendszer pedig a nagy számok leírására és a nagy rendszerek (hosszmérték, űrmérték, pénzrendszer, stb.) átjárhatóságának biztosítására a legalkalmasabb.
A görögök a földmérés (geometria) kidolgozásakor szembesültek a szögek és a kör problémájával, ezek miatt kénytelenek voltak továbbfejleszteni a műveleteket. A nullát az indiai matematikusok kezdték el használni, arab közvetítéssel onnan vette át a nyugati civilizáció.
A számtan fokozatosan matematikává fejlődött, és a fejlődési folyamat minden lépcsője hasznosnak bizonyult, de egyre nehezebben befogadóvá tette a tudománynak ezt a módszertani területét, és egyre kevésbé nyilvánvalóvá a belső összefüggéseit, illetve ellentmondásait. Platón nyomán – tévesen – azt gondolhatnánk, hogy a számok ideái a világ magasabb rendű, tisztább, igazi régiójához tartoznak. Csakhogy ma már tudjuk, hogy ideák kizárólag az egyes emberek fejében léteznek. A végtelen szakaszos tizedes törtek ideája is egyesek fejében alakult ki, álláspontom szerint szükségtelenül. Zavarossá teszi a gondolkodást.
A végtelen szakaszos tizedes tört valójában egy konverziós problémát jelenít meg: ha olyan természetes törtet alakítanánk tizedes törtté, amelynek a nevezőjével 10 nem osztható, az átalakítás nem sikerül. Például, 1/3: tudjuk, hogy 1 és 10 nem osztható 3-mal. 100 sem. 1000 sem, 10 000 sem, és így tovább. Az osztás soha nem lesz maradékmentes. Előre tudjuk, hogy a végtelenben nyúló próbálkozásunk hiábavaló. Ne erőlködjünk vele. A 0,3... leírható abban a formában, hogy 1/3, és mindjárt nem végtelen. Minden végtelen szakaszos tizedes tört leírható véges természetes törtként. Nincs olyan gyakorlati feladat, amelyhez végtelen tizedes tört kellene, és amit ne lehetne megoldani természetes törttel. Előbbi tehát l'art pour l'art bonyolítás... csak hogy legyen egy kis öncélú végtelenünk.
A törtek könnyebben érthetők, ha műveleti leírásnak tekintjük őket. Előre rögzítjük az eljárást, megmondjuk, hogy adandó alkalommal mit fogunk csinálni. 1/3: amint háromfelé vágható anyag kerül elénk, háromfelé vágjuk, megfogjuk az egyik részt, és ezzel befejeztük az 1/3 formában leírt eljárást. A programozásban ezt tárolt eljárásnak (függvénynek, metódusnak, stb.) nevezzük.
Mr Hyde szerint a törteket tárolt eljárásként kezelni még bonyolultabb. Dr Jekyll ellenveti, hogy a / konkrétan azt jelenti, hogy az osztást nem tudjuk előre elvégezni, meg kell várnunk, hogy egy osztható anyagon alkalmazni tudjuk. A törtnek már a jelölése világossá teszi, hogy tárolt eljárásról van szó. Ez a fogalom jól ismert és sűrűn használt a számítógépek világában.
Fogadjuk el, hogy a számtan, és magasabb szinten a matematika, különböző gyakorlati feladatok megoldására való, nincs önálló idearendszerkénti léte. Ha feladatban gondolkodunk, az 1/3-ot időnként célszerű tízes számrendszerbe konvertálni, hogy kiszámoljuk mondjuk, 1000 dollár 1/3-adát. Ilyenkor többnyire elég két tizedes pontossággal dolgozni, mivel a legkisebb pénzegységünk a cent (0,01 dollár), 0,001 dollárt nem használunk a hétköznapokban. Feladattól függően több-kevesebb tizedes jegyet használunk, de soha sem végtelen számú tizedes jegyet. Ha ragaszkodunk a leírásbeli tökéletességhez, akkor ott az 1/3 forma, ami egy osztás.
De mit értünk valójában osztás alatt, és kell-e nekünk? Kiderül a következő részből.
Nincsenek megjegyzések:
Megjegyzés küldése